Relasi adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain.
Hubungan antara elemen dalam suatu himpunan dipresentasikan menggunakan struktur yang disebut relasi. Relasi dapat digunakan untuk memecahkan masalah seperti menentukan pasangan kota yang terhubung dalam jalur penerbangan pesawat, dan masih banyak contoh lainnya.
1.2 Relasi Biner
Relasi biner atas himpunan A adalah relasi biner dari A ke A.
Relasi yang seperti ini, seringkali muncul dalam kehidupan seharihari, di dalam kalkulus kita kenal relasi dari R ke R, dari bilangan
riil ke bilangan riil.
Contoh :
Masing-masing relasi berikut adalah relasi biner atas bilangan bulat
(Z):
R1 = {(a, b)| a ≥ b, dan a, b ∈Z}
R2 = {(a, b)| a < b, dan a, b ∈ Z}
R3 = {(a, b)| a=b atau a=-b, dan a, b ∈Z}
R4 = {(a, b)| a=b, dan a, b ∈ Z}
R5 = {(a, b)| a = b+1, dan a, b ∈Z}
R6 = {(a, b)| a + b ≤ 3, dan a, b ∈ Z}
R7 = {(a, b)| a|b, dan a, b ∈ Z, dan b≠0}
1.3 Operasi Relasi
Relasi merupakan himpunan, maka operasi pada himpunan
juga berlaku dalam relasi:
1. Operasi ∩ (intersection)
2. Operasi ∪ (union)
3. Operasi ⊕ (symmetric difference)
4. Operasi - (difference)
5. Operasi komplemen (komplemen relative terhadap Cartesian
product)
1.4 Sifat Relasi
Relasi memiliki beberapa sifat yaitu :
* Sifat refleksif
* Sifat simetris
* Sifat transitif
* Sifat antisimetris
*Refleksif
Misalkan R adalah relasi pada A (relasi dari A ke A). R dikatakan
refleksif jika untuk setiap x є A, maka (x, x) є R.
contoh :
Diketahui A = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Sebuah relasi R pada
A didefinisikan sebagai berikut
R = {(x, y) | x, y є A, xy > 0}
*Simetris
Misalkan R adalah relasi pada A. R dikatakan simetris jika untuk
setiap x, y є A dengan xRy, maka yRx
contoh :
Diketahui A = {-2, -1, 0, 1, 2}. Sebuah relasi R didefinisikan sebagai
berikut
R = {(x, y) | x, y є A, xy > 0}
*Transitif
Misalkan R adalah relasi pada A. R dikatakan transitif jika untuk
setiap x, y, z є A dengan xRy dan yRz, maka xRz.
contoh :
Diketahui A = {-1, 0, 1}. R adalah suatu relasi yang didefinisikan
sebagai berikut
R = {(x, y) | x, y є A, x ≥ y}
*Antisimetris
Misalkan R adalah relasi pada A. R dikatakan antisimetris jika untuk
setiap x, y є A dengan xRy dan yRx, maka x = y
contoh :
1:Diketahui A = {-2, -1, 0, 1, 2}. Sebuah relasi R didefinisikan sebagai
berikut
R = {(x, y) | x, y є A, y = |x|}
1.5 Relasi Ekivalen
Misalkan R adalah relasi pada A. R disebut relasi Ekivalen
jika R memenuh tiga syarat yakni refleksif, simetris, dan
transitif. Dalam hal ini, apabila xRy, maka dikatakan bahwa
y ekivalen dengan x.
contoh :
:Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R didefinisikan sebagai
berikut
R = {(1, 1), (1, 4), (4, 1), (4, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}